Question

实系数一元二次方程x²+ax+2b=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，则

b-2

a-1

的取值范围是（　　）

• A、[1，4]
• B、（1，4）
• C、[

  1

  4

  ，1]
• D、（

  1

  4

  ，1）

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：设f（x）=x²+ax+2b，根据二次函数的性质与零点存在性定理可得f（0）＞0、f（1）＜0且f（2）＞0．由此建立关于a、b的二元一次不等式组，设点E（a，b）为区域内的任意一点，根据直线的斜率公式可得k=

b-2

a-1

表示
D（1，2）、E连线的斜率，将点E在区域内运动并观察直线的倾斜角的变化，即可算出k=

b-2

a-1

的取值范围；

解答： 解：（1）设f（x）=x²+ax+2b，
∵方程x²+ax+2b=0的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，
∴可得

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，即

b＞0 a+2b+1＜0 a+b+2＞0

．
作出满足上述不等式组对应的点（a，b）所在的平面区域，
得到△ABC及其内部，即如图所示的阴影部分（不含边界）．

其中A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0），
设点E（a，b）为区域内的任意一点，
则k=

b-2

a-1

，表示点E（a，b）与点D（1，2）连线的斜率
∵k_AD=

2-1

1+3

=

1

4

，k_CD=

2-0

1+1

=1，结合图形可知：k_AD＜k_CD，
∴

b-2

a-1

的取值范围是（

1

4

，1）；
故选D．

点评：本题给出含有参数a、b的一元二次方程满足的条件，求参数a、b满足的不等式组，并依此求关于a、b式子的取值范围．着重考查了二次函数的性质、零点存在性定理、二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式与两点间的距离公式等知识，属于中档题．