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12.已知函数f(x)=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2sin2x-1,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的单调区间;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若f($\frac{A}{2}$+$\frac{π}{12}$)=$\sqrt{3}$,且b=3c=3$\sqrt{3}$,求△ABC的面积.

分析 (1)由条件利用辅助角公式,正弦函数的周期性求得f(x)的最小正周期,再利用正弦函数的单调性求得f(x)的单调区间.
(2)由f($\frac{A}{2}$+$\frac{π}{12}$)=$\sqrt{3}$,求得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,再结合条件利用S△ABC=$\frac{1}{2}$bc•sinA,计算求得结果.

解答 解:(1)由已知得函数f(x)=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2sin2x-1=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin(2x-$\frac{π}{6}$),
所以f(x)的最小正周期为T=π.
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$,可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$,kπ+$\frac{π}{3}$],k∈Z.
由令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,求得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$,可得函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{3}$,kπ+$\frac{5π}{6}$],k∈Z.
(2)由 f($\frac{A}{2}$+$\frac{π}{12}$)=$\sqrt{3}$,得 2sinA=$\sqrt{3}$,即 sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
由b=3c=3$\sqrt{3}$,得b=3$\sqrt{3}$,c=$\sqrt{3}$,
所以由S△ABC=$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$.

点评 本题主要考查辅助角公式,正弦函数的单调性,正弦函数的周期性,属于基础题.

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