【题目】已知双曲线 C 经过点 (2,3),它的渐近线方程为 y = ±.椭圆 C1与双曲线 C有相同的焦点,椭圆 C1的短轴长与双曲线 C 的实轴长相等.
(1)求双曲线 C 和椭圆 C1 的方程;
(2)经过椭圆 C1 左焦点 F 的直线 l 与椭圆 C1 交于 A、B 两点,是否存在定点 D ,使得无论 AB 怎样运动,都有∠ADF = ∠BDF ?若存在,求出 D 点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);
(2)存在点D
【解析】
(1)双曲线的方程为:
,则
.设椭圆
的方程;
椭圆
的短轴长与双曲线
的实轴长相等,椭圆
与双曲线
有相同的焦点
即可得
、
、
(2)直线垂直
轴时,
、
两点关于
轴对称,要使
,则点
必在
轴上,设
,直线
不垂直
轴时,
的方程设为:
,设
,
,
,
,联立
得
.要使
,即直线
、
的斜率互为相反数,即
,求得
解:(1)双曲线方程为:
,则
.
双曲线
的方程为
.
设椭圆的方程;
椭圆的短轴长与双曲线
的实轴长相等,
椭圆
的短轴长为
,椭圆
与双曲线
有相同的焦点
,
即,
,椭圆
的方程为:
;
(2)直线垂直
轴时,
、
两点关于
轴对称,
,
要使
,则点
必在
轴上,
设,直线
不垂直
轴时,
的方程设为:
,
设,
,
,
,联立
得
.
.
,
直线
、
的斜率互为相反数,
即,
时恒成立.
时,
;
存在定点
,
,使得无论
怎样运动,都有
.
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【题目】给出下列命题:
(1)存在实数使
;
(2)直线是函数
图象的一条对称轴;
(3)(
)的值域是
;
(4)若,
都是第一象限角,且
,则
.
其中正确命题的序号为( )
A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)
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【题目】根据阅兵领导小组办公室介绍,2019年国庆70周年阅兵有59个方(梯)队和联合军乐团,总规模约1.5万人,是近几次阅兵中规模最大的一次.其中,徒步方队15个.为了保证阅兵式时队列保持整齐,各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制,太高或太矮都不行.徒步方队队员,男性身高普遍在175cm至185cm之间;女性身高普遍在163cm至175cm之间,这是常规标准.要求最为严格的三军仪仗队,其队员的身高一般都在184cm至190cm之间.经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人,得到她们身高的直方图,如图,记C为事件:“某一阅兵女子身高不低于169cm”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.5.
(1)求直方图中a,b的值;
(2)估计这个阵营女子身高的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
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【题目】某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况,对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计,得到如下人数分布表.
购买金额(元) | ||||||
人数 | 10 | 15 | 20 | 15 | 20 | 10 |
(1)求购买金额不少于45元的频率;
(2)根据以上数据完成列联表,并判断是否有
的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
不少于60元 | 少于60元 | 合计 | |
男 | 40 | ||
女 | 18 | ||
合计 |
附:参考公式和数据:,
.
附表:
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | |
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
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【题目】设函数,其中
,若
、
、
是
的三条边长,则下列结论:①对于一切
都有
;②存在
使
、
、
不能构成一个三角形的三边长;③
为钝角三角形,存在
,使
,其中正确的个数为______个
A. 3B. 2C. 1D. 0
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【题目】在平面直角坐标系中,圆
的参数方程为
(
是参数,
是大于0的常数).以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆
的极坐标方程为
.
(1)求圆的极坐标方程和圆
的直角坐标方程;
(2)分别记直线:
,
与圆
、圆
的异于原点的交点为
,
,若圆
与圆
外切,试求实数
的值及线段
的长.
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【题目】甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000,12000,15000,其成本构成如下图所示,则关于这三家企业下列说法错误的是( )
A.成本最大的企业是丙企业B.费用支出最高的企业是丙企业
C.支付工资最少的企业是乙企业D.材料成本最高的企业是丙企业
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【题目】如图,某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点
、
、
,景区管委会又开发了风景优美的景点
,经测量景点
位于景点
的北偏东
方向
处,位于景点
的正北方向,还位于景点
的北偏西
方向上,已知
.
(1)景区管委会准备由景点向景点
修建一条笔直的公路,不考虑其他因素,求出这条公路的长;(结果精确到
)
(2)求景点与景点
之间的距离.(结果精确到
)
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