Question

已知二项式(

x

+

1

3 x

)n的展开式中第4项为常数项，则1+（1-x）²+（1-x）³+…+（1-x）ⁿ中x²项的系数为（　　）

A．-19

B．19

C．20

D．-20

Answer 1

分析：利用二项式定理的通项公式以及展开式中第4项为常数项，求出n，然后表示出1+（1-x）²+（1-x）³+…+（1-x）ⁿ中x²项通过组合数的性质，求出结果．

解答：解：因为二项式(

x

+

1

3 x

)n的展开式的通项公式，
Tr+1=

C

r n

(

x

)n-r•(

1

3 x

)r=

C

r n

x

n-r

2

-

r

3

，
展开式的第4项为常数项，所以

n-r

2

-

r

3

=0，r=3，
所以，n=5，
则1+（1-x）²+（1-x）³+（1-x）⁴+（1-x）⁵中
x²项的系数为：C₂²+C₃²+C₄²+C₅²=1+3+6+10=20．
故选C．

点评：本题是基础题，考查二项式定理系数的性质，考查二项式特定项系数的求法，考查计算能力．