Question

9、已知数列{a_n}中，对任意n∈N^*都有a_n+2=a_n+1-a_n，若该数列前63项和为4000，前125项和为1000，则该数列前2011项和为（　　）

A、0

B、1000

C、3000

D、5000

Answer 1

分析：根据递推公式a_n+2=a_n+1-a_n可知，此数列为周期为T=6的周期数列，并且每6项的和为0，再根据前63项的和，前125项的和，计算出a₁即可知前2011项的和．

解答：解：由题意知：
∵a_n+2=a_n+1-a_{n 令n=n+1得}
∴a_n+3=a_n+2-a_n+=a_n+1-a_n-a_n+1=-a_n
再令n=n+3得：a_n+6=-a_n+3=a_n 
所以 T=6
 又∵前6项分别为：a₁，a₂，a₂-a₁，-a₁，-a₂，a₁-a₂   
∴每6项和为0，即s₆=0
又∵s₆₃=a₁+a₂+a₃=2a₂=4000
∴a₂=2000
又∵s₁₂₅=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=a₂-a₁=1000
∴a₁=1000
又∵s₂₀₁₁=a₁
所以s₂₀₁₁=1000
故选B．

点评：本题必须根据递推公式，先观察出此数列为周期数列，求出a₁，然后才能求出s₂₀₁₁的和，对学生来说入手比较难．