Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=a．
（1）求证：AD⊥B₁D；
（2）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（3）求点A₁到平面AB₁D的距离．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件，证明出AD⊥平面BB₁D，再根据线面垂直的性质，即可得到AD⊥B₁D；
（2）证明DE∥A₁C后，根据线面平行的判定定理，即可得到答案；
（3）根据等体积法，即VA1-AB1D=VB1-A1AD，求出棱锥体积，及底面面积，即可求出点A₁到平面AB₁D的距离

解答：解：（1）证明：∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱锥，∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥AD，
在正△ABC中，∵D是BC的中点，∴AD⊥BD．BB₁∩BD=B，
∴AD⊥平面BB₁D，∴AD⊥B₁D．（4分）
（2）连接DE．AA₁=AB，四边形A₁ABB₁是正方向，∴E是A₁B的中点，又D是BC的中点，
∴DE∥A₁C，∵DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，∴A₁C∥平面AB₁D．（8分）
（3）VA1-AB1D=VB1-A1AD，所以

1

3

•

1

2

•

3

2

a•

5

2

a•d=

1

3

•

1

2

•

3

2

a•a•

a

2

，
解得d=

5

5

a．（12分）

点评：本题考查空间垂直关系、平行关系的证明，根据三棱锥的体积求点到平面的距离，这是文科立体几何试题的一般考查方式．