【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD, E是PD的中点.
(1)证明:直线 平面PAB;
(2)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成角为 ,求二面角M-AB-D的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)取PA的中点F,连接EF,BF,通过证明CE∥BF,利用直线与平面平行的判定定理证明即可;
(2)利用已知条件转化求解M到底面的距离,作出二面角的平面角,然后求解二面角MABD的余弦值即可.
(1)证明:取PA的中点F,连接EF,BF,
因为E是PD的中点,
所以,∠BAD=∠ABC=90°,
∴,
∴BCEF是平行四边形,可得CE∥BF,BF平面PAB,平面PAB,
∴直线CE∥平面PAB;
(2)解:四棱锥PABCD中,
侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,
∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.
取AD的中点O,M在底面ABCD上的射影N在OC上,
设AD=2,则AB=BC=1,OP=,
∴∠PCO=60°,直线BM与底面ABCD所成角为45°,
可得:BN=MN,,BC=1,
可得:,
作NQ⊥AB于Q,连接MQ,AB⊥MN,
所以∠MQN就是二面角MABD的平面角,MQ=,
二面角MABD的余弦值为:.
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【题目】2019年4月,北京世界园艺博览会开幕,为了保障园艺博览会安全顺利地进行,某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤,则每个区域至少有一个安保小组的排法有( )
A.150种B.240种C.300种D.360种
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【题目】如图,在三棱锥中,
,
,
,
,
分别是
,
的中点,
在
上且
.
(I)求证:;
(II)求直线与平面
所成角的正弦值;
(III)在线段上是否存在点
,使二面角
的大小为
?若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知动圆与圆
:
相切,且与圆
:
相内切,记圆心
的轨迹为曲线
.设
为曲线
上的一个不在
轴上的动点,
为坐标原点,过点
作
的平行线交曲线
于
,
两个不同的点.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)试探究和
的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数,若不能,请说明理由;
(Ⅲ)记的面积为
,
的面积为
,令
,求
的最大值.
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【题目】英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词:每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同)
(1)英语老师随机抽了个单词进行检测,求至少有
个是后两天学习过的单词的概率;
(2)某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为,对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为
,若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测,求该学生能默写对的单词的个数
的分布列和期望。
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【题目】对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:
①焦点在y轴上;
②焦点在x轴上
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;
④抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦的长为5;
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1)
能使抛物线方程为y2=10x的条件是_____.
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