Question

【题目】已知函数－2为自然对数的底数，)．

(1)若曲线在点处的切线与曲线至多有一个公共点时，求的取值范围；

(2)当时，若函数有两个零点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)；(2) .

【解析】

(1)求导函数,确定曲线在点处的切线,与联立,利用根的判别式,即可得出结论;

(2)由得,构造新函数,求导函数,确定其单调性,可得最值,即可确定的取值范围.

(1) ，所以切线斜率

又 ，∴曲线在点(1，0)处的切线方程为

由.

由 可知：

当Δ＝0时，即 或时，有一个公共点；

当Δ＜0时，即 时，没有公共点．

所以所求的取值范围为.

(2)，由，得，

令 ，则.

当x∈时，由，得.

所以 在上单调递减，在[1，e]上单调递增，

因此，由，

比较可知，所以，结合函数图象可得，当 时，

函数 有两个零点．

故所求 的取值范围为.