Question

已知f（x）=ax³+bx+c图象过点(0，-

1

3

)，且在x=1处的切线方程是y=-3x-1．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）由f(0)=-

1

3

⇒c=-

1

3

，
∴f（x）=ax³+bx-

1

3

．则
f'（x）=3ax²+b，∴f'（1）=3a（1）²+b，∴3a+b=-3，
又∵切点为（1，-4），∴f(1)=a+b-

1

3

=-4，
联立可得a=

1

3

，b=-4．
∴f(x)=

1

3

x3-4x-

1

3

；
（2）由f(x)=

1

3

x3-4x-

1

3

⇒f'（x）=x²-4，
令f'（x）=0⇒x²-4=0⇒x=±2，
令f'（x）＞0⇒x²-4＞0⇒x＜-2或x＞2，
令f'（x）＜0⇒x²-4＜0⇒-2＜x＜2，

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	8 3	↗	5	↘	- 17 3	↗	- 10 3

由上表知，在区间[-3，3]上，当x=-2时，y_max=f（-2）=5，
当x=2时，ymin=f(2)=-

17

3

．