Question

13．已知定义域为R的奇函数$f（x）=\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+2}}$．
（1）求b的值；
（2）证明函数f（x）为定义域上的单调递减函数；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）是奇函数，通过f（0）=0，求解b即可．
（2）由（1）知函数的解析式，利用函数的单调性定义设x₁＜x₂，推出f（x₁）-f（x₂）＞0，即可证明函数是单调减函数．
（3）利用函数的单调性以及函数的奇偶性转化不等式：f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0为t²-2t＞k-2t²．然后利用判别式列出不等式求解即可．

解答 解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
即$\frac{b-1}{2+2}=0⇒b=1∴f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{2+{2^{x+1}}}}$，经验证此时满足f（-x）=-f（x）∴b=1；
（2）证明：由（1）知$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{2+{2^{x+1}}}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
设x₁＜x₂则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{1}{{{2^{x_2}}+1}}=\frac{{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$
因为函数y=2^x在R上是增函数且x₁＜x₂∴${2^{x_2}}-{2^{x_1}}$＞0
又$（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）$＞0∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
（3）因f（x）是奇函数，从而不等式：f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0
等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因f（x）为减函数，由上式推得：t²-2t＞k-2t²．
即对一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
从而判别式$△=4+12k＜0⇒k＜-\frac{1}{3}$．

点评 本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性函数恒成立条件的应用，考查转化思想，函数与方程的应用，是中档题．