Question

已知在△ABC中，0＜A＜

π

2

，0＜B＜

π

2

，sinA=

2

10

，tan（A-B）=-

2

11

（1）求tanB，cosC的值；
（2）求A+2B的大小．

Answer 1

分析：（1）根据A，B的范围，利用同角三角函数基本关系，利用sinA，求得cosA和tanA，进而根据tanB=tan[A-（A-B）]利用正切的两角和公式求得tanB的值，则sinB和cosB可求得．进而利用余弦的两角和公式根据cosC=-cos（A+B）求得cosC的值．
（2）根据（1）中的tanB的值，利用二倍角公式求得tan2B的值，进而利用正切的两角和公式求得tan（A+2B）的值，进而根据tanA和tanB的值判断出A，B的范围，进而求得A+2B的值．

解答：解（1）∵A，B是锐角，sinA=

2

10

∴cosA=

7 2

10

tanA=

1

7

∴tanB=tan[A-（A-B）]=

tanA-tan(A-B)

1+tanAtan(A-B)

=

1

3

∴sinB=

10

10

，cosB=

3 10

10

又A+B+C=π
∴C=π-（A+B）
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

7 2

10

×

3 10

10

+

2

10

×

10

10

=-

2 5

5

（2）∵tanB=

1

3

∴tan2B=

2tanB

1-tan2B

=

3

4

∴tan（A+2B）=

1 7 + 3 4

1- 1 7 × 3 4

=1
又tanA=

1

7

＜1，tanB=

3

4

＜1．A，B是锐角
∴0＜A＜

π

4

，0＜B＜

π

4

，∴0＜A+2B＜

3π

4

∴A+2B=

π

4

．

点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用．涉及了正切的二倍角公式，两角和公式等．考查了学生综合分析问题的能力．