Question

1．证明下列绝对值不等式：
（1）|x-y|≥||x|-|y||
（2）|x₁+x₂+…+x_n|≤|x₁|+|x₂|+…|x_n|
（3）|x+x₁+…+x_n|≥|x|-（|x₁|+…+|x_n|）

Answer 1

分析 （1）用比较法证明|x-y|²≥||x|-|y||²，可得|x-y|≥||x|-|y||成立．
（2）分类讨论，证得结论成立．
（3）根据|x+x₁+…+x_n|≥|x|-|x₁+…+x_n|①，结合|x|-|x₁+…+x_n|≥|x|-（|x₁|+…+|x_n|）②，从而证得结论成立．

解答 解：（1）证明：∵|x-y|²-||x|-|y||²=x²-2xy+y²-（|x|²-2|x|•|y|+|y|²）=2|x|•|y|-2xy≥0，
∴|x-y|²≥||x|-|y||²，∴|x-y|≥||x|-|y||．
（2）证明：若x₁、x₂ 、…、x_n 中的各个数都是非负数或都是非正数，则|x₁+x₂+…+x_n|=|x₁|+|x₂|+…|x_n|，
若x₁、x₂ 、…、x_n 中的各数的符号不一致，则|x₁+x₂+…+x_n|＜|x₁|+|x₂|+…|x_n|，
综上可得，|x₁+x₂+…+x_n|≤|x₁|+|x₂|+…|x_n|．
（3）证明：∵|x+x₁+…+x_n|≥|x|-|x₁+…+x_n|①，且|x₁+…+x_n|≤|x₁|+…+|x_n|，
∴-|x₁+…+x_n|≥-|x₁|+…+|x_n|，∴|x|-|x₁+…+x_n|≥|x|-（|x₁|+…+|x_n|）②，
结合①②可得|x+x₁+…+x_n|≥|x|-（|x₁|+…+|x_n|）成立．

点评 本题主要考查用比较法证明不等式，绝对值不等式的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．