【题目】已知函数.
(1)当时,求函数的值域;
(2)若函数的最大值是
,求
的值;
(3)已知,若存在两个不同的正数
,当函数
的定义域为
时,
的值域为
,求实数
的取值范围.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】
(1)时写出函数表达式,根据真数范围求解函数值域即可。(2)设
换元真数部分为关于
的一元二次函数,又
有最大值,所以开口只能向下,即
,在对称轴处取得最大值,即可求出
的范围。(3)较易判断
为增函数,函数
的定义域为
时,
的值域为
可理解为函数
与
有两个交点正数交点
,
,另外将
进行换元即可转化成关于
的一个一元二次函数求解。
(1)时,
因为,所以
所以此时的值域是
。
(2)设,则
,若此时
,开口向上没有最大值。由第一问可知)
时也不满足,所以开口只能向下,即
且此时对称轴
。
当时,最大值在对称轴处取得,
即
解出 或
(舍)
所以。
(3)当时,设
,设真数为
,此时对称轴
,所以当
时m为增函数,即
为增函数。
所以函数的定义域为
时,
的值域为
,可理解为函数
与
有两个交点正数交点
,
,
即有两个正根。
即,设
所以
即有两个大于1的根。
所以此时只需即可,即
又,所以
。
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;
(2)当p=1时,若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求线段PQ的中点M的坐标.
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【题目】给出以下命题,其中真命题的个数是( )
①若“或
”是假命题,则“
且
”是真命题;
②命题“若,则
或
”为真命题;
③已知空间任意一点和不共线的三点
,
,
,若
,则
,
,
,
四点共面;
④直线与双曲线
交于
,
两点,若
,则这样的直线有3条;
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】
某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表:
初一年级 | 初二年级 | 初三年级 | |
女生 | 373 | x | y |
男生 | 377 | 370 | z |
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19.
求x的值;
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应在初三年级抽取多少名?
已知y245,z
245,求初三年级中女生比男生多的概率.
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【题目】汉字听写大会
不断创收视新高,为了避免“书写危机”,弘扬传统文化,某市大约10万名市民进行了汉字听写测试
现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况,发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间,将测试结果按如下方式分成六组:第1组
,第2组
,
,第6组
,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访,求被采访人恰好在第2组或第6组的概率;
试估计该市市民正确书写汉字的个数的平均数与中位数;
已知第4组市民中有3名男性,组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队,求至少有1名女性市民的概率.
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【题目】已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关,为了确定下一个时段鸡舍的控制温度,某企业需要了解鸡舍的温度 (单位:
),对某种鸡的时段产蛋量
(单位:
) 和时段投入成本
(单位:万元)的影响,为此,该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度
和产蛋量
的数据,对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值.
其中.
(1)根据散点图判断,与
哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量
关于鸡舍时段控制温度
的回归方程类型?(给判断即可,不必说明理由)
(2)若用作为回归方程模型,根据表中数据,建立
关于
的回归方程;
(3)已知时段投入成本与
的关系为
,当时段控制温度为
时,鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少?
附:①对于一组具有线性相关关系的数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
.
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