Question

15．已知棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心为O．以O为球心，1为半径作球，点P是球面上的任意一点，点Q是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁表面上的任意一点，则$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{DA}$的取值范围为（　　）

• A． [-9，9]
• B． [-12，12]
• C． [-15，15]
• D． [-18，18]

Answer 1

分析 以球心O为坐标原点，建立空间坐标系，表示出$\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{DA}$的坐标，代入坐标公式计算，求出最值．

解答 解：以球心O为坐标原点，建立空间坐标系，设P（x，y，z），Q（a，b，c），则x²+y²+z²=1，|a|≤2，|b|≤2，|c|≤2，
∴$\overrightarrow{DA}$=（0，4，0），$\overrightarrow{PQ}$=（a-x，b-y，c-z）．∴$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{DA}$=4（b-y），
∴当b=2，y=-1时，$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{DA}$取得最大值12，当b=-2，y=1时，$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{DA}$取得最小值-12．
故选：B．

点评 本题考查了空间向量的数量积运算及应用，建立空间坐标系是解题关键．