Question

知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两个焦点为F₁，F₂．点A在双曲线第一象限的图象上，若△AF₁F₂的面积为1，并且tan∠AF₁F₂=

1

2

．tan∠AF₂F₁=-2．则双曲线的方程为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（m，n）．m＞0，n＞0．由tan∠AF₁F₂可得

n

m+c

=

1

2

，由tan∠AF₂F₁=-2可得

n

m-c

=2，由△AF₁F₂的面积为1可得

1

2

•2c•n=1，联立求出A的坐标，即可得出双曲线的方程．

解答： 解：设A（m，n）．m＞0，n＞0．
由tan∠AF₁F₂可得

n

m+c

=

1

2

，
由tan∠AF₂F₁=-2可得

n

m-c

=2，
由△AF₁F₂的面积为1可得

1

2

•2c•n=1，
以上三式联立解得：c=

3

2

，m=

5 3

6

，n=

2 3

3

．
所以A（

5 3

6

，

2 3

3

），F₁（-

3

2

，0），F₂（

3

2

，0）．
根据双曲线定义可得2a=|AF₁|-|AF₂|=

15

．
所以a=

15

2

，b=

3

，
所以双曲线方程为

4x2

15

-

y2

3

=1．
故答案为：

4x2

15

-

y2

3

=1．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线基础知识的理解和灵活利用．