Question

17．在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为a正方形，SD⊥底面ABCD，且SD=a，SA=SC=$\sqrt{2}$a．
（1）在这个四棱锥中放一个球，求球的最大半径；
（2）求四棱锥外接球的半径．

Answer 1

分析 （1）利用等体积法求球的最大半径；
（2）四棱锥补成长方体，求出其对角线长，即可求四棱锥外接球的半径．

解答 解：（1）由题意，求四棱锥的内切球的半径，设为r，则
由等体积可得，$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×a$=$\frac{1}{3}×$（a²+2×$\frac{1}{2}×a×a$+2×$\frac{1}{2}×a×\sqrt{2}a$）r，
∴r=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$a；
（2）四棱锥补成长方体，其对角线长为$\sqrt{3}$a，∴四棱锥外接球的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．

点评 本题考查四棱锥内切球、外接球的半径，考查学生的计算能力，属于中档题．