Question

12．如图所示，在三棱锥D-ABC中，DA⊥AC，DA⊥BC，AC=BC=1，AB=$\sqrt{3}$，AD=$\sqrt{2}$，求异面直线AB与CD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 求异面角，先要找到异面角，可以分别过A，C作BC，AB的平行线，设交于E点，这样便找到了∠DCE或其补角为所求异面角，根据条件可说明DA⊥平面ABCE，从而可得到DA⊥AE．这样根据已知的边的长度及垂直关系可分别求出AE，DE，CE，CD，在△CDE中，根据余弦定理即可求出cos∠DCE，这样便求出异面直线AB与CD所成角的余弦值．

解答 解：如图，过A作BC的平行线，过C作AB的平行线，两平行线交于E点，并连接DE，则：
AB∥CE；
∴∠DCE或其补角便为异面直线AB，CD所成角；
DA⊥AC，DA⊥BC，AC∩BC=C；
∴DA⊥平面ABCE，AE?平面ABCE；
∴DA⊥AE，$AD=\sqrt{2}，AE=BC=1$；
∴$DE=\sqrt{3}$；
在Rt△ACD中，$CD=\sqrt{3}$，EC=$\sqrt{3}$；
∴在△CDE中，由余弦定理得：cos∠DCE=$\frac{3+5-3}{2\sqrt{3}•\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{6}$；
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{6}$．

点评 考查异面直线所成角的定义，及求法，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质，直角三角形边的关系，以及余弦定理的应用．