Question

15．设数列{a_n}中a₁=3，且a_n+1=a_n²，则数列{a_n}的通项公式为a_n=${3}^{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 通过a₁=3及a_n+1=a_n²写出前几项的值，猜测通项公式，进而用数学归纳法证明即可．

解答 解：∵a₁=3，且a_n+1=a_n²，
∴a₂=3²=${3}^{{2}^{1}}$，${a}_{3}={3}^{{2}^{2}}$，${a}_{4}={3}^{{2}^{3}}$，
猜测：a_n=${3}^{{2}^{n-1}}$．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时也成立，即a_k=${3}^{{2}^{k-1}}$，
∴a_k+1=${{a}_{k}}^{2}$=$（{3}^{{2}^{k-1}}）^{2}$=${3}^{{2}^{k-1+1}}$=${3}^{{2}^{k}}$，
即当n=k+1时也成立；
由①、②可知数列{a_n}的通项公式为a_n=${3}^{{2}^{n-1}}$，
故答案为：a_n=${3}^{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．