A. | 2$\sqrt{2}$ | B. | $\sqrt{5}$ | C. | 3 | D. | 2$\sqrt{5}$ |
分析 由三视图知该几何体是三棱锥,由三视图和勾股定理求出棱长,由棱长的大小判断出面积最大的面,由余弦定理、三角形的面积公式求出最大面的面积.
解答 解:由三视图可知几何体是三棱锥,如图所示,
且PD⊥平面ABC,D是AC的中点,PD=2,
底面是等腰直角三角形,AC=BC=2、AC⊥BC,
∴PA=PC=BD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$,AB=2$\sqrt{2}$
则PB=$\sqrt{P{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+(\sqrt{5})^{2}}$=3,
∴棱长PB最大,其次AB,
则△PAB的面积是各个面中面积最大的一个面,
在△PAB中,由余弦定理得cos∠ABP=$\frac{A{B}^{2}+P{B}^{2}-A{P}^{2}}{2•AB•PB}$
=$\frac{8+9-5}{2×2\sqrt{2}×3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∵0<∠ABP<π,∴∠ABP=$\frac{π}{4}$,
则△PAB的面积S=$\frac{1}{2}•AB•PB•sin∠ABP$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×3×\frac{\sqrt{2}}{2}$=3,
故选:C.
点评 本题考查由三视图求几何体的表面积,以及余弦定理、三角形的面积公式,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查空间想象能力.
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A. | $\sqrt{6}$ | B. | $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$ |
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