Question

17．在三视图如图的多面体中，最大的一个面的面积为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 3
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由三视图知该几何体是三棱锥，由三视图和勾股定理求出棱长，由棱长的大小判断出面积最大的面，由余弦定理、三角形的面积公式求出最大面的面积．

解答 解：由三视图可知几何体是三棱锥，如图所示，
且PD⊥平面ABC，D是AC的中点，PD=2，
底面是等腰直角三角形，AC=BC=2、AC⊥BC，
∴PA=PC=BD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB=2$\sqrt{2}$
则PB=$\sqrt{P{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=3，
∴棱长PB最大，其次AB，
则△PAB的面积是各个面中面积最大的一个面，
在△PAB中，由余弦定理得cos∠ABP=$\frac{A{B}^{2}+P{B}^{2}-A{P}^{2}}{2•AB•PB}$
=$\frac{8+9-5}{2×2\sqrt{2}×3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜∠ABP＜π，∴∠ABP=$\frac{π}{4}$，
则△PAB的面积S=$\frac{1}{2}•AB•PB•sin∠ABP$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×3×\frac{\sqrt{2}}{2}$=3，
故选：C．

点评 本题考查由三视图求几何体的表面积，以及余弦定理、三角形的面积公式，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．