Question

已知a∈R，求函数f（x）=x²e^ax的单调区间．

Answer 1

分析：本题考查利用导数求函数的单调区间，这一点不是很难，但要注意对a进行分类讨论

解答：解：函数f（x）的导数：f'（x）=2xe^ax+ax²e^ax=（2x++ax²）e^ax．
（I）当a=0时，若x＜0，则f'（x）＜0，若x＞0，则f'（x）＞0．
所以当a=0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数．
（II）当a＞0时，由2x+ax2＞0，解得x＜-

2

a

或x＞0，
由2x+ax2＜0，解得-

2

a

＜x＜0.
所以，当a＞0时，函数f（x）在区间（-∞，-

2

a

）内为增函数，在区间（-

2

a

，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；
（III）当a＜0时，由2x+ax²＞0，解得0＜x＜-

2

a

，
由2x+ax²＜0，解得x＜0或x＞-

2

a

．
所以当a＜0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，-

2

a

）内为增函数，在区间（-

2

a

，+∞）内为减函数．

点评：本小题主要考查导数的运算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想．