Question

（选修4-2：矩阵与变换）
矩阵

3 3 2 4

，向量

β

=

6 8

，
（Ⅰ）求矩阵A的特征值和对应的特征向量；
（Ⅱ）求向量

α

，使得A2

α

=

β

．

Answer 1

分析：（I）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
（II）设向量α=

x   y

，由已知条件得出关于x，y的方程组，求解即可．

解答：解：（Ⅰ）由f(λ)=

.

λ-3-3 -2λ-4

.

=(λ-3)(λ-4)-6=0得λ₁=6，λ₂=1，
将λ₁=6代入特征方程组，得

3x-3y=0 -2x+2y=0

⇒x-y=0．
可取

1 1

为属于特征值λ₁=6的一个特征向量．（8分）
将λ₂=1代入特征方程组，同理得

3 -2

为属于特征值λ₂=1的一个特征向量．
（II）设向量α=

x y

，由

3 4 2 4

]2

x y

=

6 8

，
得

x=-1 y=1

，
∴α=

-1 1

．

点评：本题主要考查来了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于矩阵中的基础题．