Question

19．已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，动直线l与椭圆交于B，C两点（B在第一象限）．
（1）若点B的坐标为（1，$\frac{3}{2}$），求△OBC面积的最大值；
（2）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），且3y₁+y₂=0，求当△OBC面积最大时，直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）直线OB的方程为：y=$\frac{3}{2}$x，即3x-2y=0，设经过点C且平行于直线OB的直线l′方程为：y=$\frac{3}{2}$x+b．则当l′与椭圆只有一个公共点时，△OBC的面积最大．此时直线与椭圆相切．
（2）直线l与y轴不垂直，设直线l的方程为：x=my+n，与椭圆方程联立化为：（3m²+4）y²+6mny+3n²-12=0，
利用根与系数的关系及其3y₁+y₂=0，可得n²=$\frac{3{m}^{2}+4}{3{m}^{2}+1}$．则S_△OBC=$\frac{1}{2}|n|$•|y₁-y₂|=2|n||y₁|=$\frac{6|m|{n}^{2}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{6|m|}{3{m}^{2}+4}$．进而得出结论．

解答 解：（1）直线OB的方程为：y=$\frac{3}{2}$x，即3x-2y=0，设经过点C且平行于直线OB的直线l′方程为：y=$\frac{3}{2}$x+b．
则当l′与椭圆只有一个公共点时，△OBC的面积最大．联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=\frac{3}{2}x+b}\end{array}\right.$，化为：3x²+3bx+b²-3=0，
由△=9b²-12（b²-3）=0，解得b=$±2\sqrt{3}$．当b=2$\sqrt{3}$时，C$（-\sqrt{3}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$；当b=-2$\sqrt{3}$时，C$（\sqrt{3}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
S_△OBC≤$\frac{1}{2}×\sqrt{1+\frac{9}{4}}$×$\frac{|3\sqrt{3}+\sqrt{3}|}{\sqrt{13}}$=$\sqrt{3}$．
（2）直线l与y轴不垂直，设直线l的方程为：x=my+n，联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3m²+4）y²+6mny+3n²-12=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-6mn}{3{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=$\frac{3{n}^{2}-12}{3{m}^{2}+4}$．∵3y₁+y₂=0，∴y₁=$\frac{3nm}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{1}^{2}$=$\frac{4-{n}^{2}}{3{m}^{2}+4}$，∴$\frac{9{m}^{2}{n}^{2}}{（3{m}^{2}+4）^{2}}$=$\frac{4-{n}^{2}}{3{m}^{2}+4}$，∴n²=$\frac{3{m}^{2}+4}{3{m}^{2}+1}$．
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}|n|$•|y₁-y₂|=2|n||y₁|=$\frac{6|m|{n}^{2}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{6|m|}{3{m}^{2}+4}$．
∵B在第一象限，∴x₁=my₁+n=$\frac{3{m}^{2}n}{3{m}^{2}+4}$+n＞0，∴n＞0．
∵y₁＞0，∴m＞0．
∴S_△OBC=$\frac{6m}{3{m}^{2}+1}$=$\frac{6}{3m+\frac{1}{m}}$$≤\frac{6}{2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，当且仅当m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时取等号．此时n=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
此时直线l的方程为：x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y+$\frac{\sqrt{10}}{2}$，即2$\sqrt{3}$x-2y-$\sqrt{30}$=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、直线与椭圆相切问题、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．