Question

已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是

3

．

Answer 1

分析：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a，侧棱为b，作出二面角A-CD-E的平面角、二面角B-AC-D的平面角，利用cos∠AGE=cos∠BFD，即可求得结论．

解答：解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a，侧棱为b．
取CD中点G，则AG⊥CD，EG⊥CD，故∠AGE是二面角A-CD-E的平面角．
由BD⊥AC，作平面BDF⊥棱AC交AC于F，则∠BFD为二面角B-AC-D的平面角．
AG=EG=

b2-a2

，BF=DF=

2a b2-a2

b

，AE=2

b2-( 2 3 3 a)2

=2

b2- 4 3 a2

．
由cos∠AGE=cos∠BFD，得

2AG2-AE2

2AG2

=

2BF2-BD2

2BF2

．
∴

4(b2- 4 3 a2)

b2-a2

=

4a2b2

4a2(b2-a2)

，∴9b²=16a²，
∴b=

4

3

a，从而b=2，2a=3，AE=2．
∴最远的两个顶点距离为3．
故答案为：3

点评：本题考查与二面角有关的立体几何的综合，考查二面角的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．