Question

函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x₁，x₂都有等式f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性并证明；
（Ⅲ）若f（2）=1，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，解关于x的不等式f（2x-1）-3≤0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令x₁=x₂=1即可求得f（1）的值；
（Ⅱ）令x₁=x₂=-1可求得f（1）=0；再令x₁=-1，x₂=x，可求得f（-x）=f（x），函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，从而可判定f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）依题意，可求得f（2x-1）≤f（8），利用f（x）在（0，+∞）上是增函数，即可求得不等式f（2x-1）-3≤0的解集．

解答：解：（Ⅰ）∵对于定义域内任意的x₁，x₂都有等式f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴令x₁=x₂=1得：f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
（Ⅱ）令x₁=x₂=-1得：f（1）=f（-1）+f（-1），
∴f（-1）=0；
再令x₁=-1，x₂=x，则f（-x）=f（x），
∵函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
∴f（x）为偶函数．
（Ⅲ） 令x₁=x₂=2⇒f（4）=f（2）+f（2）=2f（2），
再令x₁=4，x₂=2⇒f（8）=f（4）+f（2）=2f（2）+f（2）=3f（2），
∵f（2）=1，
∴f（8）=3，
又∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（x）为偶函数，
∴f（2x-1）≤f（8），
∴

2x-1≠0 |2x-1|≤8

，
解得-

7

2

≤x＜

1

2

或

1

2

＜x≤

9

2

．
∴所求不等式的解集为{x|-

7

2

≤x＜

1

2

或

1

2

＜x≤

9

2

}．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法的灵活应用，突出函数奇偶性的判断与函数单调性的应用，属于中档题．