Question

已知函数f（x）=

x

x2+1

，x∈（-1，1）
（1）判断此函数的奇偶性；
（2）判断函数的单调性，并加以证明．
（3）解不等式f（x）-f（1-x）＞0．

Answer 1

分析：（1）将函数解析式中x换为-x，变形得到f（-x）=-f（x），即函数为奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，根据x的范围判断出f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），即可得到此函数为增函数；
（3）利用（2）得到此函数为增函数，及x的范围列出关于x的不等式组，求出不等式组的解集即可得到x的范围．

解答：解：（1）∵f（-x）=

-x

(-x)2+1

=-

x

x2+1

=-f（x），
∴f（x）=

x

x2+1

，x∈（-1，1）为奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

(x2-x1)(x1x2-1)

(x12+1)(x22+1)

，
∵x₁²+1＞0，x₂²+1＞0，x₂-x₁＞0，
∴当-1＜x₁＜x₂＜1时，x₁x₂-1＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，
则函数f（x）是增函数；
（3）根据题意得：

-1＜x＜1 -1＜1-x＜1 x＞1-x

，
解得：

1

2

＜x＜1，
则原不等式的解集为{x|

1

2

＜x＜1}．

点评：此题考查了其他不等式的解法，奇偶性与增减性的综合运用，是一道中档题．