Question

20. 现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a₀，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中a₀＝0.为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记T＝a₀+a₁+…+a₅，x_n=，y_n=（a₀+a₁+…+a_n），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，…，5）的折线.

（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；

（Ⅱ）设P_n－1P_n的斜率为k_n（n=1，2，3，4，5），判断k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的大小关系；

（Ⅲ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）<x；

（Ⅳ）求由函数y=x与y=f（x）的图象所围成图形的面积（用a₁，a₂，a₃，a₄，a₅表示）.

Answer 1

20.本小题主要考查函数、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.

（Ⅰ）解：f（0）==0，

f（1）==1.

（Ⅱ）解：k_n==，n=1，2，…，5，

因为a₁<a₂<a₃<a₄<a₅，

所以k₁<k₂<k₃<k₄<k₅.

（Ⅲ）证明：由于f（x）的图象是连接各点P_n（x_n，y_n）（n=0，1，…，5）的折线，要证明f（x）<x（0<x<1），只需证明f（x_n）<x_n（n=1，2，3，4）.事实上，当x∈（x_n－1，x_n）时，

f（x）=（x－x_n－1）+f（x_n－1）

=f（x_n－1）+f（x_n）

<x_n－1+x_n=x.

下面证明f（x_n）<x_n .

证法一：

对任何n（n=1，2，3，4），

5（a₁+…+a_n）=[n+（5－n）]（a₁+…+a_n）

=n（a₁+…+a_n）+（5－n）（a₁+…+a_n）

≤n（a₁+…+a_n）+（5－n）na_n

=n[a₁+…+a_n+（5－n）a_n]

<n（a₁+…+a_n+a_n+1+…+a₅）=nT，

所以f（x_n）=<=x_n .

证法二：

对任何n（n=1，2，3，4），

当k_n<1时，

y_n=（y₁－y₀）+（y₂－y₁）+…+（y_n－y_n－1）

=（k₁+k₂+…+k_n）<=x_n.

当k_n≥1时，

y_n=y₅－（y₅－y_n）

=1－[（y_n+1－y_n）+（y_n+2－y_n+1）+…+（y₅－y₄）]

=1－（k_n+1+k_n+2+…+k₅）<1－（5－n）==x_n，

综上，f（x_n）<x_n.

（Ⅳ）解：设S₁为［0，1］上折线f（x）与x轴及直线x=1所围成图形的面积，则

S₁＝（y₀+y₁）（x₁－x₀）+（y₁+y₂）（x₂－x₁）+（y₂+y₃）（x₃－x₂）+（y₃+y₄）（x₄－x₃）+（y₄+y₅）（x₅－x₄）

=（2y₁+2y₂+2y₃+2y₄+y₅）

=[a₁+（a₁+a₂）+（a₁+a₂+a₃）+（a₁+a₂+a₃+a₄）]+

=（4a₁+3a₂+2a₃+a₄），

直线y=x与折线y=f（x）所围成图形的面积为

　　   S＝－S₁＝.