Question

已知函数f（x）=x²+（b+1）x+1是定义在[a-2，a]上的偶函数，g（x）=f（x）+|x-t|，其中a，b，t均为常数．
（1）求实数a，b的值；
（2）试讨论函数y=g（x）的奇偶性；
（3）若-

1

2

≤t≤

1

2

，求函数y=g（x）的最小值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,二次函数的性质

专题：

分析：（1）利用偶函数的性质可得：

a-2+a=0 b+1=0

，解出即可．
（2）利用函数的奇偶性的定义即可得出；
（3）去掉绝对值符号，利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x²+（b+1）x+1是定义在[a-2，a]上的偶函数，
∴

a-2+a=0 b+1=0

，
解得

a=1 b=-1

．
（2）由（1）可得f（x）=x²+1
得g（x）=f（x）+|x-t|=x²+|x-t|+1，x∈[-1，1]．
当t=0时，函数y=g（x）为偶函数．）
当t≠0时，函数y=g（x）为非奇非偶函数．
（3）g（x）=f（x）+|x-t|=

x2+x-t+1，x≥t x2-x+t+1，x＜t

，-

1

2

≤t≤

1

2

，
当x≥t时，函数y=g（x）在[-1，1]上单调递增，则g（x）≥g（t）=t²+1．
当x＜t时，函数y=g（x）在[-1，1]上单调递减，则g（x）＞g（t）=t²+1．
综上，函数y=g（x）的最小值为t²+1．

点评：本题考查了函数的奇偶性、二次函数的单调性、绝对值的意义，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．