Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+acos²x的图象经过点（0，2）
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当x∈[-

π

6

，

π

4

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,复合三角函数的单调性

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，由已知可求a，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z得函数f（x）的单调递减区间．
 （2）由x∈[-

π

6

，

π

4

]，可求-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，解得sin（2x+

π

6

）的范围，即可求出函数f（x）的值域．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）∵函数f（x）=2

3

sinxcosx+acos²x的图象经过点（0 2），
∴f（0）=2，
∴a=2，…（2分）
∴f（x）=

3

sin2x+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，…（6分）
∴由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z得kπ+

π

6

≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递减区间函数f（x）的单调递减区间为：[kπ+

π

6

，

2π

3

+kπ]，k∈Z，…（8分）
 （2）由（1）知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，…（10分）
∴0≤f（x）≤3，即函数f（x）的值域为[0，3]．…（12分）

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，复合函数的单调性，属于基本知识的考查．