Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

2

，焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线y=kx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，求k的取值范围；
（3）若另一条直线l经过点P（-2，0）及线段AB的中点，求直线l在y轴上的截距b₀的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

2

，知a=b，由双曲线焦点（

2

a，0）到渐近线x±y=0的距离为1，知

2 a

2

=1，由此能求出双曲线方程．
（2）设A₁（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线y=kx+1代入双曲线x²-y²=1，得（1-k²）x²-2kx-2=0，因与左支交于两点，则

1-k2≠0 △=4k2+8(1-k2)＞0 x1+x2= 2k 1-k2 ＜-2 (x1+1)(x2+1)≥0

，由此能求出k的取值范围．
（3）AB的中点为（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），所以直线l的方程为y=

1

-2k2+k+2

（x+2），令x=0，得b=

2

-2k2+k+2

=

1

-(k- 1 4 )2+ 17 16

，由此能求出b的取值范围．

解答：解：（1）∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

2

，
∴a=b，
∵双曲线焦点（

2

a，0）到渐近线x±y=0的距离为1，
∴

2 a

2

=1，
解得a=b=1，
∴双曲线方程为x²-y²=1．
（2）设A₁（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线y=kx+1代入双曲线x²-y²=1，得
（1-k²）x²-2kx-2=0，
因与左支交于两点，则
∴

1-k2≠0 △=4k2+8(1-k2)＞0 x1+x2= 2k 1-k2 ＜-2 (x1+1)(x2+1)≥0

解得1＜k＜

2

．
（3）AB的中点为（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
即（

k

1-k2

，

k

1-k2

），
∴直线l的方程为y=

1

-2k2+k+2

（x+2），
令x=0，得b=

2

-2k2+k+2

=

1

-(k- 1 4 )2+ 17 16

，
∵1＜k＜

2

，
∴b∈(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．