Question

已知函数f(x)=2sinωxcosωx+2

3

sin2ωx-

3

（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．

Answer 1

分析：（I）根据二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简得f(x)=2sin(2ωx-

π

3

)，利用周期公式算出ω=1，得函数解析式为f(x)=2sin(2x-

π

3

)．再由正弦函数单调区间的公式，解关于x的不等式即可得到函数f（x）的单调增区间；
（II）根据函数图象平移的公式，得出函数g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．由此解g（x）=0得sin2x=-

1

2

，利用正弦函数的图象解出x=kπ+

7π

12

或x=kπ+

11π

12

(k∈Z)，可见g（x）在每个周期上恰有两个零点，若g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b大于或等于g（x）在原点右侧的第10个零点，由此即可算出b的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由题意，可得
f（x）=2sinωxcosωx+2

3

sin2ωx-

3

=sin2ωx-

3

cos2ωx=2sin(2ωx-

π

3

)．
∵函数的最小正周期为π，∴

π

2ω

=π，解之得ω=1．
由此可得函数的解析式为f(x)=2sin(2x-

π

3

)．
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，解之得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z
∴函数f（x）的单调增区间是[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]

，k∈Z． 
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=f（x+

π

6

）+1的图象，
∵f(x)=2sin(2x-

π

3

)
∴g（x）=2sin[2(x+

π

6

)-

π

3

]+1=2sin2x+1，可得y=g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．
令g（x）=0，得sin2x=-

1

2

，可得2x=2kπ+

7π

6

或2x=2kπ+

11π

6

(k∈Z)
解之得x=kπ+

7π

12

或x=kπ+

11π

12

(k∈Z)．
∴函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，
若y=g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，
即b的最小值为4π+

11π

12

=

59π

12

．

点评：本题给出三角函数式满足的条件，求函数的单调区间并依此求解函数g（x）在[0，b]上零点的个数的问题．着重考查了二倍角的三角函数公式、辅助角公式与三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．