Question

如图，正方形ABCD的边长为2，将四条边对应的第腰三角形折起构成一个正四棱锥P-ABCD．
（1）当Q为PC为中点时，证明PA∥平面BDQ；
（2）当等腰三角形的腰长为多少时，异面直线PA与BC所成的角为60°；
（3）当侧棱与底面所成的角为60°时，求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要证PA∥平面BDQ，根据Q为PC的中点，可想到连结AC交BD于O，连结OQ，然后利用三角形中位线知识得到线线平行，从而得到线面平行；
（2）建立适当的空间坐标系，设出P点坐标，求出直线PA与BC所对应的向量，利用两向量所成角为60°求正四棱锥的高，从而求出等腰三角形的腰长；
（3）求出相邻两个侧面的法向量，利用法向量所成角的余弦值求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值．

解答：（1）证明：如图，

连结AC交BD于点O，连结OQ，∵点O，Q分别是AC，PC的中点，∴OQ∥AP，
又OQ?平面BDQ，PA?平面BDQ，∴PA∥平面BDQ；
（2）建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，
不妨设高OP=x，则A（1，-1，0），P（0，0，x），
所以

AP

=(-1，1，x)，

BC

=(-2，0，0)．
所以cos＜

AP

，

BC

＞=

AP • BC

| AP |•| BC |

=

2

2+x2 •2

=

1

2+x2

．
要使异面直线AP与BC所成的角为60°，只需

1

2+x2

=cos60°=

1

2

，解得x=

2

．
此时侧棱长也就是三角形的腰长为2；
（3）侧棱与底面所成的角也就是∠PBO=60°时，

OP

OB

=

3

，而OB=

2

，所以OP=

6

所以

AP

=(-1，1，

6

)，

AB

=(0，2，0)．
不妨设平面PAB的一个法向量为

m

=(x，y，z)，则有

AP • m =0 AB • m =0

，即

-x+y+ 6 z=0 2y=0

，令x=

6

，得y=0，z=1．
所以

m

=(

6

，0，1)．
同理可得平面PBC的一个法向量为

n

=(0，

6

，1)．
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

7 • 7

=

1

7

．
所以相邻两个侧面所成二面角的余弦值为-

1

7

．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与平面所成的角，考查了二面角的平面角，利用空间向量求解线面角和二面角时，关键是选择适当的空间右手系，同时需要注意的是二面角与其平面法向量所成角的关系，是中档题．