Question

在△ABC中，角A，B，C（C为钝角）所对的边分别为a，b，c，且cos（A+B-C）=

1

4

，a=2，

sin(A+B)

sinA

=2．
（1）求cosC的值；
（2）求b的长．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知第二个等式利用正弦定理化简，把a的值代入求出c的值，第一个等式中的角度变形后，利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，即可求出cosC的值；
（2）利用余弦定理列出关系式，把a，c，cosC的值代入即可求出b的值．

解答： 解：（1）由正弦定理得：

c

a

=

sinC

sinA

=

sin(A+B)

sinA

=2，即c=2a=4，
∵cos（A+B-C）=cos（π-2C）=-cos2C=-2cos²C+1=

1

4

，
∴cosC=-

6

4

；
（2）由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
把a=2，c=4，cosC=-

6

4

代入得：b=2

6

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及诱导公式，熟练掌握定理是解本题的关键．