Question

Q是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，F₁、F₂为左、右焦点，过F₁作∠F₁QF₂外角平分线的垂线交F₂Q的延长线于P点，当Q点在椭圆上运动时，P点的轨迹是（　　）

• A、直线
• B、圆
• C、椭圆
• D、双曲线

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据等腰三角形“三线合一”，得到|QP|=|F₁Q|，可得|QF₁|+|QF₂|=|QP|+|QF₂|=|PF₂|，结合椭圆的定义可得|PF₂|=2a，即动点P到点F₂的距离为定值2a，由此即可得到动点P的轨迹对应的图形．

解答： 解：设从F₁引∠F₁QF₂的外角平分线的垂线，垂足为R
∵△PF₁Q中，RQ是∠F₁QF₂的平分线
∴|QP|=|F₁Q|，可得|QF₁|+|QF₂|=|QP|+|QF₂|=|PF₂|
根据椭圆的定义，可得|QF₁|+|QF₂|=2a，
∴|PF₂|=2a，即动点P到点F₂的距离为定值2a，
因此，点P的轨迹是以点F₂为圆心，半径为2a的圆．
故选B．

点评：本题给出椭圆上动点Q，求点P的轨迹方程，着重考查了椭圆的定义和简单几何性质，以及等腰三角形“三线合一”等知识，属于中档题．