(05年辽宁卷)(14分)
已知椭圆的左、右焦点分别是
、
,
是椭圆外的动点,满足
,
点P是线段与该椭圆的交点,点T在线段
上,并且
满足.
(Ⅰ)设为点P的横坐标,证明
;
(Ⅱ)求点T的轨迹C的方程;
(Ⅲ)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△的面积
.若存在,求
∠的正切值;若不存在,请说明理由.
解析:(Ⅰ)证法一:设点P的坐标为
由P在椭圆上,得
由,所以
……3分
证法二:设点P的坐标为记
则
由,得
.
证法三:设点P的坐标为
椭圆的左准线方程为
由椭圆第二定义得,即
由,所以
……3分
(Ⅱ)解法一:设点T的坐标为
当时,点(
,0)和点(-
,0)在轨迹上.
当|时,
由,得
.
又,所以T为线段F2Q的中点.
在△QF1F2中,,所以有
综上所述,点T的轨迹C的方程是 ……7分
解法二:设点T的坐标为 当
时,点(
,0)和点(-
,0)在轨迹上.
当|时,由
,得
.
又,所以T为线段F2Q的中点.
设点Q的坐标为(),则
因此 ①
由得
②
将①代入②,可得
综上所述,点T的轨迹C的方程是 ……7分
|
由③得,
由④得
所以,当时,存在点M,使S=
;
当时,不存在满足条件的点M. ……11分
当时,
,
由,
,
,得
解法二:
C上存在点M()使S=
的充要条件是
|
由④得 上式代入③得
于是,当时,存在点M,使S=
;
当时,不存在满足条件的点M. ……11分
当时,记
,
由知
,所以
……14分
科目:高中数学 来源: 题型:
(09年江苏百校样本分析)(10分)挑选空军飞行学员可以说是“万里挑一”,要想通过需过“五关”――目测、初检、复检、文考、政审等. 某校甲、乙、丙三个同学都顺利通过了前两关,有望成为光荣的空军飞行学员. 根据分析,甲、乙、丙三个同学能通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75,能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4,通过政审关的概率均为1.后三关相互独立.
(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过复检的概率;
(2)设通过最后三关后,能被录取的人数为,求随机变量
的期望
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(08年莆田四中一模理) (14分)
由函数确定数列
,
,若函数
的反函数
能确定数列
,
,则称数列
是数列
的“反数列”。
(1)若函数确定数列
的反数列为
,求
的通项公式;
(2)对(1)中,不等式
对任意的正整数
恒成立,求实数
的范围;
(3)设,若数列
的反数列为
,
与
的公共项组成的数列为
;求数列
前
项和
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