Question

已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=ln x-ax+1（a∈R）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）在R上恰有5个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的性质可得f（0）=0．设x＜0，则-x＞0，故f（-x）=ln（-x）-a（-x）+1=-f（x），求得f（x）=-ln（-x）-ax-1，由此可得函数f（x）的解析式．
（2）若函数y=f（x）在R上恰有5个零点，则这5个零点关于原点对称，故方程f（x）=lnx-ax+1=0有2个正实数根，即函数y=lnx 与直线y=ax-1在
（0，+∞）上有两个交点．当y=lnx的图象与直线y=ax-1相切时求得 a=1，从而求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）由奇函数的性质可得，f（0）=0．设x＜0，则-x＞0，故f（-x）=ln（-x）-a（-x）+1=-f（x），
求得f（x）=-ln（-x）-ax-1，
故函数f（x）的解析式为f（x）=

lnx-ax+1， x＞0 0 ， x=0 -ln(-x)-ax-1 ，x＜0

．
（2）若函数y=f（x）在R上恰有5个零点，则这5个零点关于原点对称，故方程f（x）=lnx-ax+1=0有2个正实数根，
即函数y=lnx 与直线y=ax-1在（0，+∞）上有两个交点．

当y=lnx的图象与直线y=ax-1相切时，设切点为（m，lnm），则切线斜率为 （lnm）′=

1

m

，
则切线方程为 y-lnm=

1

m

（x-m），即切线为 y=

1

m

x-1+lnm，故有

1 m =a -1+lnm=-1

，解得 a=m=1．

要使函数y=lnx 与直线y=ax-1在（0，+∞）上有两个交点，则有 0＜a＜1，即实数a的取值范围为（0，1）．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的奇偶性的应用，求函数的解析式，体现了转化的数学思想，属于中档题．