Question

设数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），且a₁=2，b_n=log₃（a_n+1）
（Ⅰ）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{

1

bnbn+1

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），变形为a_n+1=3（a_n-1+1），即可证明；
（2）由等比数列的通项公式可得an+1=3n，于是b_n=log₃（a_n+1）=n．因此

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．再利用“裂项求和”即可得出．

解答： （1）证明：∵a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+1=3（a_n-1+1），
又a₁+1=3，
∴数列{a_n+1}为等比数列．
（2）解：∵数列{a_n+1}为等比数列，首项为3，公比为3．
∴an+1=3n，即a_n=3ⁿ-1．
∴b_n=log₃（a_n+1）=log33n=n．
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．

∴S_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查了等比数列的定义及其通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．