Question

在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为 ．

（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；

（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最值；

（Ⅲ）请问是否存在直线 ，∥l且与曲线C的交点A、B满足；

若存在请求出满足题意的所有直线方程，若不存在请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（I）点P在直线上.

（II）当时，d取得最小值，且最小值为

当时，d取得最大值，且最大值为3

（Ⅲ）满足题意直线m有4条，方程为： 。

【解析】

试题分析：（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）2分

因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，所以点P在直线上.4分

（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，5分

从而点Q到直线的距离为

，    6分

由此得，当时，d取得最小值，且最小值为

当时，d取得最大值，且最大值为3         8分

（Ⅲ）设平行线m方程：x-y+n = 0                 9分

椭圆与直线方程联立再由弦长公式得

设O到直线m的距离为d，则        10分

 

经验证均满足题意

所以满足题意直线m有4条，方程为： 12分

考点：点的极坐标，椭圆的参数方程，直线与椭圆的位置关系，直线方程。

点评：中档题，本题综合性较强，涉及直线与椭圆的位置关系，通过建立方程组，应用韦达定理、弦长公式等，进一步表示出三角形面积，从而建立“变量”的方程，达到解题目的。思路比较明确。