Question

已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，A为上顶点，AF₁交椭圆E于另一点B，且△ABF₂的周长为8，点F₂到直线AB的距离为2．
（I）求椭圆E的标准方程；
（II）求过D（1，0）作椭圆E的两条互相垂直的弦，M、N分别为两弦的中点，求证：直线MN经过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

解：（I）AB+AF₂+BF₂=（AF₁+AF₂）+（BF₁+BF₂）=4a=8，∴a=2
设，因为A（0，b），
∴直线AB的方程为，
∴点F₂到直线AB的距离，，
∴椭圆E的标准方程：．
（II）设以M为中点的弦与椭圆交于（x₁，y₁），（x₂，y₂），则
∴，同理，
∴，，
整理得，
∴直线MN过定点．
当直线P₁Q₁的斜率不存在或为零时，P₁Q₁、P₂Q₂的中点为点D及原点O，直线MN为x轴，
也过此定点，
∴直线MN过定点．
分析：（I）AB+AF₂+BF₂=（AF₁+AF₂）+（BF₁+BF₂）=4a=8?a=2，再由点F₂到直线AB的距离，可以求出椭圆E的标准方程：．
（II）由题设条件可知，由此可推导出直线MN过定点
点评：本题主要考查直线、椭圆的基础知识，考查函数与方程思想、分别事整合思想及化归与转化思想．