Question

8．若实数数列{a_n}满足${a_{n+2}}=|{{a_{n+1}}}|-{a_n}（n∈{N^*}）$，则称数列{a_n}为“P数列”．
（Ⅰ）若数列{a_n}是P数列，且a₁=0，a₄=1，求a₃，a₅的值；
（Ⅱ）求证：若数列{a_n}是P数列，则{a_n}的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
（Ⅲ）若数列{a_n}为P数列，且{a_n}中不含值为零的项，记{a_n}前2016项中值为负数的项的个数为m，求m所有可能取值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出a₃=|a₂|-a₀=|a₂|，a₄=|a₃|-a₂=|a₂|-a₂，由此能求出a₃，a₅的值．
（Ⅱ）假设P数列{a_n}的项都是正数，则a_n+2=a_n+1-a_n，a_n+3=a_n+2-a_n+1=-a_n＜0，与假设矛盾；假设P数列{a_n}的项都是负数，则a_n+2=|a_n+1|-a_n＞0，与假设矛盾，由此能证明{a_n}的项不可能全是正数，也不可能全是负数．
（Ⅲ）存在最小的正整数k满足a_k＜0，a_k+1＞0（k≤5），数列{a_n}是周期为9的数列，由此能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）因为{a_n}是P数列，且a₁=0，
所以a₃=|a₂|-a₀=|a₂|，
所以a₄=|a₃|-a₂=|a₂|-a₂，
所以|a₂|-a₂=1，解得${a_2}=-\frac{1}{2}$…．（1分）
所以${a_3}=\frac{1}{2}，{a_5}=|{a_4}|-{a_3}=\frac{1}{2}$．…．（3分）
证明：（Ⅱ）假设P数列{a_n}的项都是正数，即a_n＞0，a_n+1＞0，a_n+2＞0，
所以a_n+2=a_n+1-a_n，a_n+3=a_n+2-a_n+1=-a_n＜0，与假设矛盾．
故P数列{a_n}的项不可能全是正数，…．（5分）
假设P数列{a_n}的项都是负数，
则a_n＜0，而a_n+2=|a_n+1|-a_n＞0，与假设矛盾，….7分
故P数列{a_n}的项不可能全是负数．
解：（Ⅲ）由（Ⅱ）可知P数列{a_n}中项既有负数也有正数，
且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．
因此存在最小的正整数k满足a_k＜0，a_k+1＞0（k≤5）．
设a_k=-a，a_k+1=b（a，b＞0），
则a_k+2=b+a，a_k+3=a，a_k+4=-b，a_k+5=b-a．a_k+6=|b-a|+b，a_k+7=|b-a|+a，a_k+8=a-b，a_k+9=-a，a_k+10=b，
故有a_k=a_k+9，即数列{a_n}是周期为9的数列…．（9分）
由上可知a_k，a_k+1，…，a_k+8这9项中，
a_k，a_k+4为负数，a_k+5，a_k+8这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数．
因为2016=9×224，
所以当k=1时，m=224×3=672；
当2≤k≤5时，a₁，a₂，…，a_k-1这k-1项中至多有一项为负数，而且负数项只能是a_k-1，
记a_k，a_k+1，…，a₂₀₁₆这2007-k项中负数项的个数为t，
当k=2，3，4时，若a_k-1＜0，则b=a_k+1=|a_k|-a_k-1＞|a_k|=a，故a_k+8为负数，
此时t=671，m=671+1=672；
若a_k-1＞0，则b=a_k+1=|a_k|-a_k-1＜|a_k|=a，故a_k+5为负数．
此时t=672，m=672，
当k=5时，a_k-1必须为负数，t=671，m=672，…．（12分）
综上可知m的取值集合为{672}．…．（13分）

点评 本题考查数列中第3项和第5项的求法，考查数列中的项不可能全是正数，也不可能全是负数的证明，考查实数的集合的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用．