Question

20．已知函数f（x）=x³-2ax+2（a∈R）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入函数解析式，求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数，再求出f（0），代入直线方程的点斜式得答案；
（2）求出原函数的导函数，对a分类讨论，得到函数的单调性，由单调性求出函数的最值得答案．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x³-2x+2，切点为（0，2），
∴f′（x）=3x²-2，则切线的斜率为k=f′（0）=-2，
切线方程为y=-2x+2，即2x+y-2=0；
（2）f′（x）=3x²-2a=3（x²-$\frac{2a}{3}$）．
当a≤0时，f′（x）≥0，∴f（x）在[0，1]上为增函数，则f（x）_min=f（0）=2；
当a＞0时，$f′（x）=3（{x}^{2}-\frac{2a}{3}）=3（x+\frac{\sqrt{6a}}{3}）（x-\frac{\sqrt{6a}}{3}）$．
①若0＜$\frac{\sqrt{6a}}{3}$＜1，即0＜a＜$\frac{3}{2}$时，
当0≤x＜$\frac{\sqrt{6a}}{3}$时，f′（x）＜0，当$\frac{\sqrt{6a}}{3}$＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在[0，$\frac{\sqrt{6a}}{3}$）上为减函数，在（$\frac{\sqrt{6a}}{3}$，1]上为增函数，
∴$f（x）_{min}=f（\frac{\sqrt{6a}}{3}）$=2-$\frac{4a\sqrt{6a}}{9}$；
②若$\frac{\sqrt{6a}}{3}≥1$，即a≥$\frac{3}{2}$时，f′（x）≤0，∴f（x）在[0，1]上为减函数．
∴f（x）_min=f（1）=3-2a．
综上：$f（x）_{min}=\left\{\begin{array}{l}{2（a≤0）}\\{2-\frac{4a\sqrt{6a}}{9}（0＜a＜\frac{3}{2}）}\\{3-2a（a≥\frac{3}{2}）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，属于中档题．