Question

设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n=

1

2n

（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用累加法即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{b_n}的通项公式，利用错位相减法即可求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵a_n+1-a_n=

1

2n

（n∈N^*）
∴a₂-a₁=

1

2

，a₃-a₂=

1

22

，…a_n-a_n-1=

1

2n-1

，
等式两边相加得a_n-a₁=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

，
即a_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-（

1

2

）^n-1，
当n=1，a₁=1满足a_n，
故数列{a_n}的通项公式a_n=2-（

1

2

）^n-1．
（2）b_n=na_n=2n-n（

1

2

）^n-1．
设{n（

1

2

）^n-1}的前n项和T_n．
则T_n=1+2×（

1

2

）¹+3×（

1

2

）²+…+（n-1）×（

1

2

）^n-2+n（

1

2

）^n-1，
于是

1

2

T_n=

1

2

+2×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+…+（n-1）×（

1

2

）^n-1+n×（

1

2

）ⁿ，②（2分）
两式①-②相减得

1

2

T_n=1+

1

2

+（

1

2

）²+（

1

2

）³+（

1

2

）⁴+…+（

1

2

）^n-1]-n×（

1

2

）ⁿ=1+

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

]-n×（

1

2

）ⁿ=2-（

1

2

）^n-1-n×（

1

2

）ⁿ=2-（1+2n）（

1

2

）^n-1，
则T_n=4-（1+2n）（

1

2

）^n-2，
则{2n-n（

1

2

）^n-1}的前n项和S_n=

2n(n+1)

2

+4-（1+2n）（

1

2

）^n-2=n²+n+4-（1+2n）（

1

2

）^n-2．

点评：本题以数列的递推关系式为载体，主要考查数列求和，要求熟练掌握错位相减法．