Question

（1）已知三次函数f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2+cx+d(a＜b)在R上单调递增，求

a+b+c

b-a

的最小值．
（2）设f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）．若|x|≥2时，f（x）≥0，且f（x）在区间（2，3]上的最大值为1，求b²+c²的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意得f'（x）=ax²+bx+c在R上恒大于或等于0，得a＞0，△=b²-4ac≤0，将此代入

a+b+c

b-a

，将式子进行放缩，以

b

a

为单位建立函数关系式，最后构造出运用基本不等式的模型使问题得到解决；
（2）因为若|x|≥2时，f（x）≥0，且f（x）在区间（2，3]上的最大值为1，f（x）在区间（2，3]上的最大值只能在闭端点取得，故有f（2）≤f（3）=1，从而b≥-5且c=-3b-8．在分类讨论基础上，将以上关系变为不等式组，消去c可得b的取值范围，最后将b²+c²转化为b的函数，求其值域可得b²+c²的最大值和最小值．

解答：解：（1）由题意f'（x）=ax²+bx+c≥0在R上恒成立，则a＞0，△=b²-4ac≤0．
∴

a+b+c

b-a

=

a2+ab+ac

ab-a2

≥

a2+ab+ 1 4 b2

ab-a2

=

1+ b a + 1 4 ( b a )2

b a -1

令t=

b

a

(t＞1)，

a+b+c

b-a

≥

1+t+ 1 4 t2

t-1

=

1

4

(t+2)2

t-1

=

1

4

(t-1+3)2

t-1

=

1

4

(t-1+

9

t-1

+6)≥3．（当且仅当t=4，即b=4a=4c时取“=”）
（2）由题意函数图象为开口向上的抛物线，且f（x）在区间（2，3]上的最大值只能在闭端点取得，
故有f（2）≤f（3）=1，从而b≥-5且c=-3b-8．
①若f（x）=0有实根，则△=b²-4c≥0，
在区间[-2，2]有

f(-2)≥0 f(2)≥0 -2≤ b 2 ≤2

即

4-2b+c≥0 4+2b+c≥0 -4≤b≤4

消去c，解出

b≤- 4 5 b≤-4 -4≤b≤4

即b=-4，这时c=4，且△=0．
②若f（x）=0无实根，则△=b²-4c＜0，将c=-3b-8代入解得-8＜b＜-4．
综上-5≤b≤-4．
所以b²+c²=b²+（-3b-8）²=10b²+48b+64，在[-5，-4]单调递减，
故（b²+c²）_min=32，（b²+c²）_max=74．

点评：本题考查了利用导数工具研究三次函数的单调性以及函数与方程的综合应用问题，属于中档题．解决本题应注意转化化归思想和分类讨论思想的应用．