Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC．AB=AC=l，∠BAC=12°，B₁C=3．
（I）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积：
（II）求异面直线B₁C与A₁C₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先证明BB₁⊥BC，再利用三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=

1

2

AB•ACsin120°•AA₁，可得结论；
（Ⅱ）确定∠B₁CA为异面直线B₁C与A₁C₁所成角或其补角，在△B₁CA中，利用cos∠B₁CA=

AC2+B1C2- AB 2 1

2AC•B1C

，可求异面直线B₁C与A₁C₁所成角的大小．

解答：解：（Ⅰ）因为AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁，所以BB₁⊥平面ABC．
又BC?平面ABC，所以BB₁⊥BC．
由AB=AC=1，∠BAC=120°，得BC=

AB2+AC2-2AB•ACcos120°

=

3

．
在Rt△B₁BC中，BB₁=

B1C2-BC2

=

6

．…（4分）
所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=

1

2

AB•ACsin120°•AA₁=

1

2

×1×1×

3

2

×

6

=

3 2

4

．…（6分）
（Ⅱ）因为AC∥A₁C₁，所以∠B₁CA为异面直线B₁C与A₁C₁所成角或其补角．
由（Ⅰ），BB₁⊥平面ABC，则BB₁⊥AC．
在Rt△B₁BA中，AB₁=

AB2+ BB 2 1

=

7

．…（9分）
在△B₁CA中，cos∠B₁CA=

AC2+B1C2- AB 2 1

2AC•B1C

=

1

2

，∴∠B₁CA=60°，
所以异面直线B₁C与A₁C₁所成角的大小为60°．…（12分）

点评：本题考查三棱柱体积的计算，考查异面直线所成角，考查学生的计算能力，属于中档题．