Question

10．n∈N^*，证明不等式：$\frac{2-1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{{2}^{2}-1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$＞$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根据不等式的特点，利用放缩法进行证明即可．

解答 证明：$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$=$\frac{\frac{1}{2}（{2}^{n+1}-1）-\frac{1}{2}}{{2}^{n+1}-1}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{\frac{1}{2}}{{2}^{n+1}-1}$，
故$\frac{2-1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{{2}^{2}-1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$=$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），
故$\frac{2-1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{{2}^{2}-1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$＞$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{3}$．
则等价为$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＜$\frac{2}{3}$，
∴要证明原不等式成立，只需要证明上述不等式成立即可．
∵$\frac{1}{{2}^{k}-1}$-$\frac{{2}^{k+1}-1}{（{2}^{k}-1）（{2}^{k+1}-1）}$＜$\frac{{2}^{k+1}}{（{2}^{k}-1）（{2}^{k+1}-1）}$-2（$\frac{1}{{2}^{k}-1}$-$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$），
∴$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＜2（$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$+$\frac{1}{{2}^{3}-1}$-$\frac{1}{{2}^{4}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+2}-1}$）=2（$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+2}-1}$）＜$\frac{2}{3}$，
故原不等式成立．

点评 本题主要考查不等式的证明，根据不等式的关系，利用放缩法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．