Question

若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=-1，设P={x||f（x+t）-1|＜2}，Q={x|f（x）＜-1}，若“x∈Q”是“x∈P”的必要不充分条件，则实数t的取值范围是

t≤-3

．

Answer 1

分析：先化简集合P，Q，然后利用“x∈Q”是“x∈P”的必要不充分条件，确定实数t的取值范围．

解答：解：由|f（x+t）-1|＜2得-2＜f（x+t）-1＜2，即-1＜f（x+t）＜3，
因为函数f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=-1，
所以不等式等价为f（3）＜f（x+t）＜f（0），即3＞x+t＞0．所以-t＜x＜3-t．
即P={x|-t＜x＜-3-t}．
由f（x）＜-1得f（x）＜f（3），所以x＞3，即Q={x|x＞3}，
所以要使“x∈Q”是“x∈P”的必要不充分条件，
则-t≥3，即t≤-3．
故答案为：t≤-3．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用函数的单调性将集合P，Q进行化简是解决本题的关键，综合性较强．