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已知点F1、F2分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABF2为锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是(  )
A、(1,+∞)
B、(1,
3
)
C、(1,2)
D、(1,1+
2
)
分析:由过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知△ABC为等腰三角形,所以△ABF2为锐角三角形只要∠AF2B为锐角即可,由此可知
b2
a
<2c
,从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围.
解答:解:根据题意,易得AB=2
b2
a
,F1F2=2c,
由题设条件可知△ABF2为等腰三角形,
只要∠AF2B为锐角,即AF1<F1F2即可;
所以有
b2
a
<2c

即2ac>c2-a2
解出e∈(1,1+
2
)

故选D.
点评:本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断,在解题过程中要注意隐含条件的挖掘.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•聊城一模)已知点F1,F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦点,P是椭圆C上的一点,且|F1F2|=2,∠F1PF2=
π
3
,△F1PF2
的面积为
3
3

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)点M的坐标为(
5
4
,0)
,过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A,B两点,对于任意的k∈R,
MA
MB
是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•青州市模拟)已知点F1,F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,点P为椭圆上任意一点,P到焦点F2的距离的最大值为
2
+1
,且△PF1F2的最大面积为1.
( I)求椭圆C的方程.
( II)点M的坐标为(
5
4
,0)
,过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A,B两点.对于任意的k∈R,
MA
MB
是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点F1,F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,点P为椭圆上任意一点,P到焦点F2(1,0)的距离的最大值为
2
+1.
(1)求椭圆C的方程.
(2)点M的坐标为(
5
4
,0),过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A,B两点.对于任意的k∈R,
MA
MB
是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由.

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科目:高中数学 来源:山东省期中题 题型:解答题

已知点F1,F2分别为椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点,点P为椭圆上任意一点,P到焦点F2的距离的最大值为+1,且△PF1F2的最大面积为1。
(1)求椭圆C的方程。
(2)点M的坐标为,过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A,B两点。对于任意的k∈R,是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由。 

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年山东省青岛十九中高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

已知点F1,F2分别为椭圆C:的左右焦点,P是椭圆C上的一点,且的面积为
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)点M的坐标为,过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A,B两点,对于任意的是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由.

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