Question

12．已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n=n²-10n+1，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{|a_n|}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用S_n-S_n-1可知当n≥2时a_n=2n-11，验证当n=1时是否也成立即可；
（2）通过令a_n＞0可知n＜5.5，即n≤5时a_n＜0、n≥6时a_n＞0，分n≤5、n≥6两种情况讨论即可．

解答 解：（1）当n≥2时，…（1分）
a_n=S_n-S_n-1
=（ n²-10n+1）-[（n-1）²-10（n-1）+1]
=2n-11．…（4分）
又∵a₁=S₁=-8不适合上式，…（5分）
∴${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{-8（n=1）}\\{2n-11\;（n≥2）}\end{array}}\right.$．…（6分）
（2）由a_n＞0得，n＜5.5，
即n取1，2，3，4，5时，a_n＜0；n≥6时，a_n＞0．…（7分）
①当n≤5时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=-a₁-a₂-…-a_n
=-n²+10n-1，…（9分）
②当n≥6时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=-a₁-a₂-…-a₅+a₆+a₇+…+a_n
=a₁+a₂+…+a₅+a₆+…+a_n-2（a₁+a₂+…+a₅）
=S_n-2S₅
=n²-10n+1-2（5²-50+1）
=n²-10n+49，
综上所述，${T_n}=\left\{{\begin{array}{l}{-{n^2}+10n-1\;\;（n≤5）}\\{{n^2}-10n+40\;\;（n≥6）}\end{array}}\right.$．…（12分）

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．