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已知函数是定义在上的奇函数,当时,有(其中为自然对数的底,).
(1)求函数的解析式;
(2)设,求证:当时,
(3)试问:是否存在实数,使得当时,的最小值是3?如果存在,求出实数的值;如果不存在,请说明理由.

(1)
(2)构造函数利用函数的最小值大于另一个函数的最大值来证明成立。
(3)当时,函数在区间上的最小值是3

解析试题分析:解:(1)当时,

是奇函数,
所以
因此,;                  4分
(2)证明:令
时,注意到,所以 5分
①   当时,注意到,有
;      6分
② 当时,
,   7分
故函数上是增函数,从而有
所以当时,有,                         8分
又因为是偶函数,故当时,同样有,即
综上所述,当时,有;                         9分
(2)证法二:当时,
求导得,令,                         5分
于是可得当时,时,
所以处取得最大值,所以.     6分
又记,当时,有,          7分
求导得,当时,
所以上单调递增,于是
所以,在在上总有.               8分
注意到的偶函数性质,
所以当时,有);     9分
(3)当时,
求导得,令,          10分
① 当时,在区间

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(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室。那么,从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室。

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