Question

15．在△ABC中，${\overrightarrow{AB}}^{2}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AB}$|=1，则$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$等于3．

Answer 1

分析 根据条件进行向量数量积的运算，并由向量加法的几何意义便可得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0，\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OC}$，从而得出△ABC为直角三角形，并且点O为边BC的中点，从而可画出图形，根据图形可求出AC的大小，进而得出cos∠ACB的值，从而得出$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的值．

解答 解：${\overrightarrow{AB}}^{2}=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$；
∴AB⊥AC；
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OC}$；
∴O在为BC的中点；
如图所示：
∵$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{AB}|=1$；
∴AB=1，BC=2；
∴$AC=\sqrt{3}$，$cos∠ACB=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|cos∠ACB$=$\sqrt{3}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$．
故答案为：3．

点评 考查向量数量积的运算，以及相反向量的概念，向量加法的几何意义，直角三角形斜边中线的特点，三角函数的定义，以及向量数量积的计算公式．