【题目】已知点,直线为平面内的动点,过点作直线的垂线,垂足为点,且.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线与分别交轨迹于四点.求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)设动点,则,由展开计算得到的关系式即可;(2)当直线的斜率不存在(或者为0)时,可求出四点坐标,即可得到;当直线的斜率存在且不为0时,设为,直线的方程为,与轨迹的方程联立,结合根与系数的关系可得到+的表达式,然后利用函数与导数知识可求出的取值范围。
(1)设动点,则,
由,则,
所以,
化简得.
故点的轨迹的方程为.
(2)当直线的斜率不存在时,轴,
可设,
,
当直线的斜率为0时,轴,同理得,
当直线的斜率存在且不为0时,设为,则直线的方程为:,
设,由得:
,
则
所以,
则,
直线的方程为:,
同理可得:,
所以
令,则
,
,
由,得;,得;
在上单调递减,在上单调递增
,
又,故.
综上所述,的取值范围是.
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【题目】金秋九月,丹桂飘香,某高校迎来了一大批优秀的学生.新生接待其实也是和社会沟通的一个平台.校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生,对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查,统计数据如下:
愿意 | 不愿意 | |
男生 | 60 | 20 |
女士 | 40 | 40 |
(1)根据上表说明,能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关;
(2)现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中,采用按性别分层抽样的方法,选取5人.若从这5人中随机选取3人到火车站迎接新生,求选取的3人中恰好有1名女生的概率.
附:,其中.
0.05 | 0.01 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知圆,点,点是圆上的一个动点,点分别在线段上,且满足,.
(1)求点的轨迹方程;
(2)过点作斜率为的直线与点的轨迹相交于两点,在轴上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出的取值范围;如果不存在,说明理由.
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【题目】为了研究“教学方式”对教学质量的影响,某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样).以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.
(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学,求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率;
(2)学校规定:成绩不低于75分的为优秀.请填写下面的2×2列联表,并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
甲班 | 乙班 | 合计 | |
优秀 | |||
不优秀 | |||
合计 |
参考公式:,其中
参考数据:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2,1),B(-2,4),点P是满足的阿氏圆上的任一点,则该阿氏圆的方程为___________________;若点Q为抛物线E:y2=4x上的动点,Q在直线x=-1上的射影为H,则的最小值为___________.
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【题目】某工科院校对A、B两个专业的男、女生人数进行调查统计,得到以下表格:
专业A | 专业B | 合计 | |
女生 | 12 | ||
男生 | 46 | 84 | |
合计 | 50 | 100 |
如果认为工科院校中“性别”与“专业”有关,那么犯错误的概率不会超过( )
注:
P(x2≥k) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
A. 0.005B. 0.01C. 0.025D. 0.05
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